この情報どっかから見つけたのですがどうやって検索したかがわからなくなってしまいました。
念のためここにメモしておきます。

結論のコードを書いてしまうと、以下のようにすれば横向き固定でアプリが起動します。

function Start () {
Screen.orientation = ScreenOrientation.LandscapeLeft;
}

セットするプロパティは以下の種類があります。

  • Portrait デバイスはPortraitモード、持ち方は縦向きでホームボタンが下。
  • PortraitUpsideDown デバイスはPortraitモードで逆さま、持ち方は縦向きでホームボタンが上。
  • LandscapeLeft デバイスはLandscapeモード、持ち方は横向きでホームボタンが右。
  • LandscapeRight デバイスはLandscapeモード、持ち方は横向きでホームボタンが左。

これらのプロパティをScreen.orientationにセットすると起動時の画面の向きを制御できます。

追記

こんな面倒くさいことをしなくても、Build SettingからPlayer Settingを表示して、AndroidとiOSタブのところにDefault Orientationという項目があるのでここで起動時の向きを設定できます。